Cambios en la cartera de WordPress usando PHP

get_terms recupera todas las etiquetas disponibles, no solo las asociadas a la publicación actual. En su lugar, modifique el get_terms línea en la parte superior así:

    $taxonomy = 'jetpack-portfolio-type'  ;
    $tax_terms = get_the_terms( get_the_ID(), $taxonomy );

Esto recogerá los términos de la $taxonomy asociado a la publicación actual.

Editar:
Me perdí la pregunta sobre las comas. Para deshacerse de ellos por completo, simplemente puede eliminarlos de la salida:

                foreach ( $tax_terms as $tax_term ) {
                echo '<a class="filter" href="https://stackoverflow.com/project-type/". $tax_term->slug.'">' . $tax_term->name .'</a> ';
                }

eliminé el , justo detrás del cierre </a>, por lo que ahora solo estará separado por espacios en blanco. Si desea tener un separador especial solo entre elementos, puede lograrlo así:

                $separator=""; // initialize empty
                foreach ( $tax_terms as $tax_term ) {
                  echo $separator.'<a class="filter" href="https://stackoverflow.com/project-type/". $tax_term->slug.'">' . $tax_term->name .'</a>';
                  if (empty($separator)) {
                    // Choose a custom separator HERE:
                    $separator=", ";
                  }
                }